Шта је Ферми Дирац дистрибуција? Дијаграм енергетског појаса и Болтзманнова апроксимација

Електрони и рупе играју битну улогу у преносу електричне енергије у полупроводници . Те честице су распоређене на различитом енергетском нивоу у полупроводнику. Кретање електрона са једног нивоа енергије на други производи електричну енергију . Електрон унутар метала треба да поседује ниво енергије који је најмање већи од енергије површинске баријере да би побегао на виши ниво енергије.

Било је много предложених и прихваћених теза које објашњавају карактеристике и понашање електрона. Али некакво понашање електрона, попут независности емисионе струје од температуре итд ... и даље је остало мистерија. Затим пробој статистика, Ферми Дирац Статистика , објавио Енрицо Ферми и Паул Дирац 1926. помогао у решавању ових загонетки.

Од тада Ферми Дирац Дистрибуција се примењује да објасни колапс звезде белом патуљу, да објасни емисију слободних електрона из метала итд ...

Ферми Дирац Дистрибуција

Пре уласка у Ферми Дирац функција расподеле погледајмо енергија расподела електрона у различитим врстама полупроводника. Максимална енергија слободног електрона може имати материјал у апсолутној температури, тј. на 0к познат је као Фермијев ниво енергије. Вредност Фермијеве енергије варира за различите материјале. На основу енергије коју поседују електрони у полупроводнику, електрони су распоређени у три енергетска опсега - проводни појас, Фермијев ниво енергије, Валенцијев опсег.

Док проводна трака садржи побуђене електроне, валентна трака садржи рупе. Али за шта значи ниво Ферми? Фермијев ниво је енергетско стање које има вероватноћу ½ да га заузме електрон. Најједноставније речено, то је максимални ниво енергије који електрон може имати на 0к и вероватноћа проналаска електрона изнад овог нивоа на апсолутној температури је 0. При апсолутној нултој температури половина Фермијевог нивоа биће испуњена електронима.

У дијаграму енергетског појаса полупроводника, Фермијев ниво лежи у средини проводљивости и валентног појаса за својствени полупроводник. За спољни полупроводник, Фермијев ниво лежи у близини валентног појаса у Полупроводник типа П а за Полупроводник Н-типа , лежи близу проводног појаса.

Фермијев ниво енергије се означава са ИС_Ф, проводни опсег се означава као ИС_Ц. а валентни опсег се означава као Е._В..

Фермијев ниво у Н и П типовима

Фермијев ниво у полупроводницима типа Н и П

Ферми Дирац функција расподеле

Вероватноћу да ће расположиво енергетско стање ’Е’ заузети електрон на апсолутној температури Т у условима топлотне равнотеже даје Ферми-Диракова функција. Из квантне физике, Ферми-Дирацов израз дистрибуције је

Где је к Болцманова константа у ^ИЛИДО , Т је температура у ⁰ДО и ИС_Ф је ниво Фермијеве енергије у еВ.к = 1,38Кс10^-2Ј / К

Фермијев ниво представља енергетско стање са 50% вероватноће да ће се напунити ако не постоји забрањени појас, тј. Ако Е = Е._Ф онда ф (Е) = 1/2 за било коју вредност температуре.

Ферми-Дирацова расподела даје само вероватноћу заузимања стања на датом енергетском нивоу, али не пружа никакве информације о броју држава доступних на том енергетском нивоу.

Ферми Дирац-ов распоред и дијаграм енергетског опсега

ф (Е) Вс (Е-Е_Ф) заплет

Горња табела приказује понашање Фермијевог нивоа у различитим температурним опсезима Т = 0⁰К, Т = 300⁰К, Т = 2500⁰ДО. У Т = 0К , крива има степенасте карактеристике.

У Т = 0⁰ДО , укупан број енергетских нивоа које заузимају електрони може се знати коришћењем Ферми-Дирац-ове функције.

За дати ниво енергије Е> Е._Ф , експоненцијални члан у Ферми-Дирац функцији постаје 0 и што значи да је вероватноћа проналаска заузетог енергетског нивоа енергије већа од ИС_Ф је нула.

За дати ниво енергије ИСФ чија вредност значи да су сви нивои енергије са енергијом мањи од нивоа Фермија Е_Фбиће заузета у Т = 0⁰ДО . То указује да је Фермијев ниво енергије максимална енергија коју електрон може имати на апсолутној нултој температури.

За температуру већу од апсолутне температуре и Е = Е._Ф , тада независно од вредности температуре.

За температуру већу од апсолутне температуре и ИСФ , тада ће експоненцијал бити негативан. ф (Е) почиње на 0,5 и има тенденцију повећања према 1 како се Е смањује.

За температуру већу од апсолутне температуре и Е> Е._Ф , експоненцијал ће бити позитиван и повећава се са Е. ф (Е) почиње од 0,5 и има тенденцију да се смањује према 0 како се Е повећава.

Ферми Дирац-ова дистрибуција Болтзманн-ова апроксимација

Маквелл-Болтзманнова расподела је најчешће коришћена Ферми Дирац-ова апроксимација расподеле .

Ферми-Дирац дистрибуцију даје

Од стране користећи Маквелла - Болцманова апроксимација горња једначина је сведена на

Када је разлика између енергије носача и нивоа Фермија велика у поређењу са, термин 1 у имениоцу се може занемарити. За примену Ферми-Дирацове расподеле, електрон мора следити Паулијев ексклузивни принцип, што је важно код високог допинга. Али Маквелл-Болтзманнова расподела занемарује овај принцип, па је Маквелл-Болтзманн-ова апроксимација ограничена на случајеве са ниским допингом.

Ферми Дирац и Босе-Еинстеин статистика

Ферми-Дирац статистика је грана квантне статистике која описује расподелу честица у енергетским стањима која садржи идентичне честице поштујући Паули-принцип искључења. Пошто се Ф-Д статистика примењује на честице са полуцелим спином, оне се називају фермиони.

Систем који се састоји од термодинамички у равнотежи и идентичних честица, у моночестици стању И, просечан број фермиона дат је Ф-Д расподелом као

где је једночестично стање Ја , укупни хемијски потенцијал означен је са, до_Б. је Болтзманнова константа док Т. је апсолутна температура.

Босе-Ајнштајнова статистика супротна је Ф-Д статистици. Ово се примењује на честице са целим спиновањем или без спина, зване бозони. Ове честице не поштују Паули-јев принцип искључења, што значи да иста квантна конфигурација може бити испуњена са више од једног бозона.

Ф-Д статистика и Боре-Ајнштајнова статистика примењују се када је квантни ефекат важан и честице се не могу разликовати.

Ферми Дирац-ов проблем расподеле

У чврстом материјалу узмите у обзир ниво енергије који лежи 0,11еВ испод Фермијевог нивоа. Нађите вероватноћу да овај ниво не заузме електрон?

Ферми Дирац-ов проблем расподеле

Ово је све о томе Ферми Дирац Дистрибуција . Из горњих података коначно можемо закључити да се макроскопска својства система могу израчунати помоћу Ферми-Дирац-ове функције. Користи се за познавање Фермијеве енергије и код нулте и код коначне температуре. Одговоримо на питање без икаквих калкулација, на основу нашег разумевања Ферми-Дирацове дистрибуције. Да ли се за ниво енергије Е, 0,25е.В испод Фермијевог нивоа и температуре изнад апсолутне температуре, Фермијева крива расподеле смањује према 0 или повећава према 1?